Uma partícula move-se com velocidade v t m/s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e distância percorrida por ela durante os intervalos de tempos dados.

v t = t - 3 ;             0 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Temos que o deslocamento é a integral da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, e para encontrar o deslocamento vamos integrar a expressão da velocidade usando os limites de integração como os extremos do intervalo, vamos lá:

s t = ∫ 0 5 t - 3 d t

Como a expressão tem módulo, vamos achar onde ela é negativa e onde é positiva igualando a zero e analisando:

t - 3 = 0 → t = 3

Temos então que a função dentro do módulo é negativa para valores 0 ≤ t < 3 e positiva para 3 < t ≤ 5 , assim vamos dividir a integral em duas, uma primeira com sinal negativo para poder ter resultado positivo e a segunda positiva:

s t = ∫ 0 5 t - 3 d t = ∫ 0 3 - t - 3 d t + ∫ 3 5 t - 3 d t = - ∫ 0 3 t - 3 d t + ∫ 3 5 t - 3 d t =

= - t 2 2 - 3 t 0 3 + t 2 2 - 3 t 3 5 =

= - 3 2 2 - 3 ⋅ 3 - 0 2 2 - 3 ⋅ 0 + 5 2 2 - 3 ⋅ 5 - 3 2 2 - 3 ⋅ 3 =

= - 9 2 - 9 + 25 2 - 15 - 9 2 - 9 = - 9 - 18 2 + 25 - 30 2 - 9 - 1 8 2 =

= 9 2 + - 5 2 + 9 2 = 13 2

Passo 2

Já a distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, que vai a expressão com módulo, da forma:

s t = ∫ 0 5 t - 3 d t

Aqui, a distância percorrida é igual ao deslocamento, por já ter um módulo nela, e já temos o valo da integral achada no passo 1 , assim:

s t = ∫ 0 5 t - 3 d t = 13 2

Resposta

13 2 m e 13 2 m

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