No Exemplo 11 os gráficos sugerem que a limaçon tem um laço interno quando . Demonstre que isso é verdadeiro e encontre os valores de que correspondam ao laço interno.

Seja:

Vamos lá, dando uma olhada na equação temos uma constante somando uma função de que é , quando que teremos valores negativos de ?

Ou seja, quando que ? Quando , manipulando essa inequação vamos descobrir que

Sabemos que o tem valor limitado entre e . Pra deixar mais bonito podemos escrever assim:

Se multiplicarmos por chegamos à conclusão de que se for positivo,

ou seja varia de até .

Já que queremos que seja menor que , faz sentido analisarmos o menor valor de , para que o laço apareça. Então, seguindo essa lógica o menor valor , tem que ser menor que

Multiplicando por , lembrando que em uma inequação, se fizermos isso temos que inverter a comparação

Mas isso só vale porque analisamos para valores positivos de , se for negativo então varia de até e o menor valor possível seria o próprio . Então se for negativo

Podemos aqui também multiplicar por para acharmos uma forma mais geral

Então concluímos que:

• Se :
• Se

Já que dependendo do sinal de , temos sinais diferentes também na inequação, o que realmente importa é o valor absoluto de , ou seja, seu módulo:

Para descobrir os valores de que são responsáveis pelo laço vamos usar os limites dos valores negativos de , esses valores começam após

Dividindo por

Aplicando a função inversa do seno

O outro limite, quando volta a ser positivo acontece no seu ângulo suplementar. Sabemos que se e são suplementares, então nosso outro valor de é

O laço acontece entre os ângulos e .