Enunciado

Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto extremo esquerdo na curva x = t 4 - t 2 , y = t + ln ⁡ t . Então use o cálculo para encontrar as coordenadas exatas.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de curva paramétrica, vamos lá!

O problema nos dá as equações paramétricas de uma curva

x = t 4 - t 2

y = t + ln ⁡ t

E nos pede para encontrar o ponto mais à esquerda de duas formas: estimando pelo gráfico e usando cálculo!

Dessa forma, para o primeiro caso, só precisamos plotar o gráfico em algum software (recomendo o GeoGebra) e estimar o ponto!

Dessa forma, obtemos a seguinte curva

E nela nós já conseguimos identificar o ponto extremo à esquerda de cara!

Mas e como encontramos esse ponto usando cálculo? Observe que, se temos um ponto extremo à esquerda, esse ponto sempre vai ter uma reta tangente vertical! Tipo assim:

E se a reta é vertical isso significa que sua inclinação é “infinita”! E como essa inclinação é dada por

m = d y d t d x d t

Para que m tenda ao infinito precisamos que

d x d t = 0

Com isso nós vamos conseguir encontrar o ponto exato que estamos buscando!

Passo 2

Temos o seguinte gráfico

De forma que podemos aproximar o ponto extremo esquerdo por

x ,   y ≈ - 1 4 , 2 5

Passo 3

No ponto extremo temos que

d x d t = 0

Onde

d x d t = 4 t 3 - 2 t

Resolvendo a equação encontramos o valor de t

4 t 3 - 2 t = 0

2 t 2 t 2 - 1 = 0

Como t > 0

t = 2 2

Assim, substituindo esse valor nas expressões paramétricas

x ( t ) = t 4 - t 2

x 2 2 = 1 4 - 1 2 = - 1 4

y ( t ) = t + ln ⁡ t

y 2 2 = 2 2 + ln ⁡ 2 2

Desta forma, o ponto pedido tem coordenadas

- 1 4 , 2 2 + ln ⁡ 2 2

Resposta

- 1 4 , 2 2 + ln ⁡ 2 2

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