Calcule

∫ γ x 3 d x + d y 1 + y 2

Onde gamma é a curva

Passo 1

Olhando para nossa curva, temos que perceber a necessidade de dividi-la em 4 partes. Uma vez descrita as 4 curvas e seus intervalos, só precisaremos integrá-las

Passo 2

Vamos fazer assim

A curva superior γ 1

γ 1 t = t , 1 , 1 ≥ t ≥ - 1

A curva a esquerda γ 2

γ 2 t = - 1 , t ,   1 ≥ t ≥ - 1

A curva inferior γ 3

γ 3 t = t , - 1 , - 1 ≤ t ≤ 1

A curva a direita γ 4

γ 4 t = 1 , t ,   - 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Agora conhecendo as curvas, podemos começar a integral

Para γ 1

x = t → d x = d t

y = 1 → d y = 0

Então

∫ 1 - 1 t 3 d t = 3 4 t 4 3 1 - 1 = 3 4 - 3 4 = 0

Para γ 2

x = - 1 → d x = 0

y = t → d y = d t

Então

∫ 1 - 1 d t 1 + t 2 = arctan ⁡ t 1 - 1 = - π 4 - π 4 = - π 2

Para γ 3

x = t → d x = d t

y = - 1 → d y = 0

Então

∫ - 1 1 t 3 d t = 3 4 t 4 3 - 1 1 = 3 4 - 3 4 = 0

Para γ 4

x = 1 → d x = 0

y = t → d y = d t

Então

∫ - 1 1 d t 1 + t 2 = arctan ⁡ t - 1 1 = π 4 + π 4 = π 2

Desta forma temos que

0 - π 2 + 0 + π 2 = 0

Resposta

0

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