Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 1a

Calcule ∫ C f d s , onde

a )   f x ,   y = x + y e C é a fronteira do triângulo de vértices 0 ,   0 ,   1 ,   0 e 0 ,   1 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamo que vamo com o Responde Aí em mais um exercício!! :D

Para calcularmos a integral de linha, precisamos parametrizar a nossa função. Mas antes disso, precisamos notar que a nossa curva C é decomposta em três retas como mostrado a seguir:

Isso nos mostra que é necessário fazer a decomposição da integral também. Logo, a nossa integral da curva total será a soma das integrais de cada reta:

∫ C f d s = ∫ C 1 f d s + ∫ C 2 f d s + ∫ C 3 f d s

Tal que essas retas podem ser escritas como:

C 1 : y = 0

C 2 : x = 0

C 3 : y = 1 - x

E parametrizadas por:

C 1 : σ t = t ,   0 ,   0 ≤ t ≤ 1 C 3 :   σ t = t ,   1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1 C 2 : σ t = 0 ,   t ,   0 ≤ t ≤ 1

Assim, uma curva parametrizada terá sua integral dada por:

∫ C f d s = ∫ f σ t ∙ σ ' t d t

E as nossas curvas terão os valores:

C 1 : σ ' t = 1 ,   0 → σ ' t = 1 C 3 :   σ ' t = 1 ,   - 1 → σ ' t = 2 C 2 : σ ' t = 0 ,   1 → σ ' t = 1

Passo 2

Então, nossas integrais podem ser escritas como:

∫ C 1 f d s + ∫ C 2 f d s + ∫ C 3 f d s = ∫ C 1 x + y d s + ∫ C 2 x + y d s + ∫ C 3 x + y d s

Ou seja:

∫ C 1 f d s + ∫ C 2 f d s + ∫ C 3 f d s = ∫ 0 1 t + 0 1 d t + ∫ 0 1 0 + t 1 d t + ∫ 0 1 t + 1 - t 2 d t

⇒ ∫ 0 1 t d t + ∫ 0 1 t d t + ∫ 0 1 2 d t

Portanto, teremos os resultados:

∫ 0 1 t d t + ∫ 0 1 t d t + ∫ 0 1 d t = t 2 2 1 0 + t 2 2 1 0 + 2 t | 1 0

Passo 3

Agora, substituindo os intervalos de integração:

t 2 2 1 0 + t 2 2 1 0 + t | 1 0 = 1 2 1 - 0 + 1 2 1 - 0 + 2 1 - 0

Portanto:

⇒ 1 2 + 1 2 + 2 = 1 + 2

Resposta

1 + 2

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