Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 20
-
Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
-
Encontre os valores de máximo e mínimo de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E teremos que dizer algumas coisas sobre ela.
No item (a) queremos saber os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
Para saber isso, podemos usar as informações dadas pela derivada da função, pois ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, se
Significa que a função é crescente, já que a reta tangente tem derivada positiva. E se
A função é decrescente, já que a derivada é negativa.
No item (b), precisamos encontrar os valores de máximo e mínimo de . Para isso também usamos a ideia dada pela inclinação da reta tangente. Ou seja, a derivada. Assim:
Teremos um ponto de máximo ou mínimo da função, já que a inclinação da reta tangente será nula.
E no item (c), vamos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Aqui o ponto de inflexão é onde a função muda de comportamento, e isso é dado pela derivada de segunda ordem da função. Assim, se:
Nossa curva terá concavidade para baixo.
E se
E nossa curva terá concavidade para cima.
Se
Teremos um ponto de inflexão. Onde a concavidade muda de sentido.
Agora que já sabemos o que fazer em cada item, vem comigo que te mostro como vai ficar tudo isso.
Passo 2
(a) Para acharmos os intervalos onde nossa função é crescente ou decrescente, vamos ver os pontos onde ou .
Para encontrar a derivada dessa função usaremos a regra do produto, já que temos duas funções sendo multiplicadas.
Assim, faremos:
E
Onde estamos olhando para
Com
E
Com
Derivando, teremos:
Que resulta em:
Agora vamos analisar as condições:
Para :
Logo,
Resolvendo, temos:
Assim, nossa função será crescente no intervalo .
Para :
Logo,
Isto é,
Portanto, nossa função será decrescente no intervalo
Passo 3
(b) Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos . Então vamos lá!
Logo,
Passando o para o outro lado:
Portanto,
Do Passo 1, sabemos que de nossa função é decrescente e a partir do ela começa a crescer. Então podemos afirmar que o ponto será um ponto de mínimo.
Fazendo as contas:
Portanto, o ponto será um ponto de mínimo.
Passo 4
Para verificarmos a inflexão, vamos fazer o teste da segunda derivada.
Derivando,
Para :
Logo,
Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.
Para :
Assim,
E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,
Assim,
Repare que a equação acima não tem solução, porque não tem nenhum valor de que faça dar zero. Então, não haverá nenhum ponto de inflexão.
Resposta
a)
Decrescente:
Crescente:
b)
Ponto de mínimo:
c)
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
Pontos de inflexão:
Não há nenhum