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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 17

(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 2 - x - ln ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, seus valores de máximo e mínimo locais e também seus intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Bastante coisa, né? Mas tudo isso pode ser resolvido com a ajuda da nossa amiga derivada. Pra isso, vamos derivar a nossa função e igualar o resultado a zero, para obter os pontos críticos. Em seguida, vamos avaliar o sinal dessa derivada, usando os pontos críticos encontrados. Esses intervalos vão determinar onde a função é crescente ou decrescente.

Depois, vamos usar o Teste da segunda derivada, para determinar os valores de máximo e mínimo locais de f . E por fim, vamos analisar o sinal dessa segunda derivada (o que vai nos indicar os intervalos de concavidade) e igualar ela a zero, para encontrar os pontos de inflexão.

Vamos lá!

Passo 2

Para achar os números críticos de f , derivamos:

f ' x = 2 x - 1 - 1 x

Tirando o M.M.C:

f ' x = 2 x 2 - x - 1 x

Fatorando:

f ' x = ( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) x

Igualando esse resultado a zero:

2 x + 1 x - 1 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, um dos termos precisa ser zero. Então, temos:

2 x + 1 = 0 → x = - 1 2

x - 1 = 0 → x = 1

Passo 3

Testando f ' ( x ) nos intervalos determinados pelos pontos críticos, temos:

Então, a função será crescente em:

- ∞ ,   - 1 2 ∪ - 1 2 ,   1

E será decrescente no intervalo:

( 1 ,   ∞ )

Passo 4

Agora para verificar os valores de máximo e mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada. Pra isso, derivamos f ' ( x ) novamente e obtemos:

f ' ' x = 2 + 1 x 2

Substituindo os valores dos pontos críticos que encontramos no passo 2 , temos:

f ' ' - 1 2 = 8

f ' ' 1 = 3

Portanto, temos f ' ' - 1 2 > 0 , indicando que x = - 1 2 é um ponto de mínimo local. E da mesma forma, para f ' ' 1 > 0 , onde temos outro ponto de mínimo local em x = 1 .

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem f ' ' x = 0 ou é indefinido. Não temos tais pontos nesse caso, pois f ' ' ( x ) é sempre positivo.

Além disso, como f ' ' ( x ) é sempre positiva, a função é sempre côncava para cima.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a)

C r e s c e n t e → - ∞ ,   - 1 2 ∪ - 1 2 ,   1

D e c r e s c e n t e → ( 1 ,   ∞ )

(b) Mínimos locais em x = 1 e x = - 1 2

(c) A concavidade será sempre para cima e não existe ponto de inflexão, nesse caso.

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