Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 39
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
E ai galerinha, bora lá?
O enunciado pede uma análise detalhada de uma função , para resolver o problema, seguimos os seguintes passos:
Iremos iniciar calculando a derivada primeira da função para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Logo após vamos encontrar os pontos críticos da função para determinar os valores máximos ou mínimos locais.
- Se para à esquerda de e para à direita de , então é um máximo local.
- Se para à esquerda de e para à direita de , então é um mínimo local.
- Se a derivada primeira não muda de sinal em , então pode ser um ponto de inflexão ou um ponto de cela.
Iremos também calcular a derivada segunda da função para analisar a concavidade e identificar os pontos de inflexão.
E por fim utilizar todas as informações obtidas para esboçar o gráfico da função, destacando os diferentes aspectos analisados.
Passo 2
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.
Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal, e para isso acontecer iremos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia:
Estudando o sinal, vemos que a raiz no denominador é sempre positivo, enquanto o numerador é sempre positivo em valores de maiores que e negativo em valores menores que , então:
é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
Passo 3
Item b:
Os pontos críticos são os pontos onde a derivada primeira se anula ou não está definida. Esses pontos podem representar máximos, mínimos ou pontos de inflexão da função.
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Passo 4
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda.
Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo.
Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Estudando o sinal de temos que é sempre positivo pois não existe raiz real de número negativo, e também será positiva pois só está definida para .
Então, essa função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.
Passo 5
Item d:
Com base nas informações obtidas nas etapas anteriores, podemos esboçar o gráfico da função, marcando os pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Isso nos dará uma visão completa do comportamento da função.
Os pontos críticos são importantes para entender o comportamento do gráfico de uma função. Eles indicam onde a função tem valores extremos locais ou onde a direção da curva muda (pontos de inflexão).
Resposta
(a) é decrescente para valores de no intervalo e crescente no intervalo .
(b) é ponto de mínimo local.
(c) A função possui concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.
(d)
