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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 31

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x x 2 + 1

Passo 1

Primeiramente, veja que o domínio da função depende que x 2 + 1   ≠ 0 → x 2 + 1 ≠ 0   ( p a r a   t o d o   x ∈ R ) . Então, o domínio são todos os reais.

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 1 x 2 + 1 - 1 2 x 2 + 1 2 x x x 2 + 1 2 = 1 x 2 + 1 3 2

y ' ' =   - 3 x x 2 + 1 5 2

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   1 x 2 + 1 3 2 = 0  

Porém, observe que isso nunca ocorre, pois x 2 + 1 ≠ 0   ∀ x ∈ R .

Então, a função não apresenta pontos de máximo e mínimo.

E y 0 = 0 , então a função passa pela origem.

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = 1 x 2 + 1 3 2 > 0

Veja que x 2 + 1 > 0   ∀ x ∈ R , logo, a derivada nunca vai ser negativa. Então a função é sempre crescente – de ( - ∞ ,   ∞ ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' = - 3 x x 2 + 1 5 2 . Novamente, o denominador nunca será negativo, então vamos analisar o numerador da função...

- 3 x > 0 → x < 0

Então... a concavidade é para cima no intervalo de ( - ∞ ,   0 ) e para baixo no intervalo de 0 ,   ∞ .

Temos um ponto de inflexão em (0,0).

Passo 4

Ah, olha a nossa função: x x 2 + 1 ...

Veja que se a gente fizer isso: x < x 2 + 1 → x 2 < x 2 + 1 podemos concluir que o numerador é sempre menor que o denominador. O que isso significa no gráfico?

A função nunca vai “passar” de ( - 1 ,   1 ) (limites no infinito resultam nesses valores). Então, temos assíntotas em y = - 1 e y = 1 .

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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