Mostre que a equação x^3 - 15x + 1 = 0 possui três soluções no intervalo [-4,4].

Passo 1

Primeiro temos que observar se a função é contínua em todo intervalo. No caso de um polinômio, não tem problema algum.

Bom, pelo teorema do valor intermediário, temos raízes quando o valor da função muda de sinal em dois pontos diferentes certo? O que vamos fazer aqui vai ser simplesmente pegar valores e aplicar na função vendo onde eles mudam de sinal.

Passo 2

Vou usar os valores -4 e 4 que são os extremos, e -1 e 1 que são fáceis de trabalhar, haha

Começando com o –4:

- 4 3 - 15 - 4 + 1

- 3

Beleza, obtivemos um valor negativo. Bora tentar agora o -1

- 1 3 - 15 - 1 + 1

15

Opa, percebeu que agora a função deu positiva? Isso significa que já existe pelo menos uma solução aí.

Bora fazer agora com o 1.

1 3 - 15 1 + 1

- 13

Caraca, perfeito. Mudamos de sinal de novo! Mais uma raiz pra gente aí no meio.

Ultimo valor vai ser o 4.

4 3 - 15 4 + 1

5

Pronto, com isso a gente prova que existe uma raiz entre -4 e -1, outra entre -1 e 1, e uma ultima entre 1 e 4. Como estamos trabalhando com uma equação do terceiro grau, ela só permite 3 raízes, oque significa que já identificamos o intervalo onde todas elas se encontram.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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