Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 80
Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.
Passo 1
O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?
Concorda que o limite da questão se assemelha um pouco com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função e um tal que:
E
Passo 2
É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo , com sendo uma constante e o nosso pois e isso já garantiria que
Vamos testar então
Então as expressões que interessam a gente são:
E
Nosso limite ficaria assim:
Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?
Passo 3
Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a definição de derivada para a função
No ponto .
Derivando nossa função:
Aí precisamos buscar na memória a derivada de arco tangente, lembra?
Fazendo
O valor do limite é:
Pois ele é nada mais do que a derivada da função escrita de um jeito diferente, ou seja, usando a definição de derivadas.