Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 53
A Lei de Boyle diz que, quando uma amostra de gás é comprimida em uma pressão constante, a pressão P do gás é inversamente proporcional ao volume V do gás.
(a) Suponha que a pressão de uma amostra de ar que ocupa a 25 ºC seja de 50 kPa. Escreva V como uma função de P.
(b) Calcule quando . Qual o significado da derivada? Quais são suas unidades?
Passo 1
Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos diz que pela Lei de Boyle quando temos uma compressão de gás a pressão constante a pressão do gás é inversamente proporcional ao seu volume:
Na letra (a) ele pede pra a gente escrever uma expressão pro volume em função da pressão levando em conta que a e . E na letra (b) devemos calcular para .
Bora lá?!
Passo 2
Dado que a pressão é inversamente proporcional o volume do gás, temos que:
Onde é uma constante de proporcionalidade. Como quando , temos que é:
Então, o volume pode ser escrito como:
Passo 3
Agora vamos pra a letra (b). Vamos derivar em função de :
Vamos usar a regra da potência:
Assim:
Agora podemos calcular :
Como o volume está em e a pressão está em , a unidade desse é , então:
O que a gente terminou de calcular é nada mais nada mesmo do que a taxa de variação instantânea do volume em função da pressão a e . Nesse caso podemos entender que o volume decresce a uma taxa de durante a compressão.