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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 34

34. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞   ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞   ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x

Ou então, provar que ele não existe! Pra a gente calcular esse limite a gente vai fazer uma substituição de variável. Assim nossa função vai ficar menos feia! Considere o seguinte:

t = e x

Quando x → ∞ , então t → ∞ . Vamos ter então:

lim x → ∞   ⁡ t 3 - 1 t 3 t 3 + 1 t 3

Agora bora calcular esse limite!

Passo 2

Temos:

lim x → ∞   ⁡ t 3 - 1 t 3 t 3 + 1 t 3

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Imagina dividir 1 100000000000000 o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Para isso vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é t 3 . Agora vamos dividir todo mundo por t 3 :

lim t → ∞   ⁡ t 3 t 3 - 1 t 3 × t 3 t 3 t 3 + 1 t 3 × t 3 = lim t → ∞   ⁡ 1 - 1 t 6 1 + 1 t 6

Agora é só aplicar ∞ e testar se chegamos a algum resultado numérico. Vamos ter:

lim t → ∞   ⁡ 1 - 1 t 6 1 + 1 t 6 = 1 - 1 ∞ 6 1 + 1 ∞ 6

Lembra que uma divisão por ∞ tende a zero. Assim, temos:

1 - 1 ∞ 6 1 + 1 ∞ 6 = 1 - 0 1 + 0 = 1

Então temos que:

lim x → ∞   ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x = 1

Aweee!

Resposta

lim x → ∞   ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x = 1

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