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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 51

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

5 1 )   x 2 y 2 - x 2 + 4 y 2 = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

x 2 y 2 - x 2 + 4 y 2 = 0

y 2 x 2 + 4 - x 2 = 0

y 2 x 2 + 4 = x 2

y 2 = x 2 x 2 + 4

y x = ± x 2 x 2 + 4

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ ± x 2 x 2 + 4 = lim x → ± ∞ ⁡ ± x 2 x 2 1 + 4 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ ± 1 1 + 4 x 2

Vamos ter então

lim x → ± ∞ ⁡ ± 1 1 + 4 x 2 = ± 1 1 + 0 = ± 1 = ± 1

Limites deram números? Então beleza, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. Como:

x 2 x 2 + 4

Pra qualquer x que a gente escolha vai sempre ter denominador diferente de 0 e interior da raiz igual ou maior que 0 , não tem pontos desse tipo. Logo, sem assíntotas verticais.

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ ± x 2 x 2 + 4 = ± 1

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ ± x 2 x 2 + 4 = ± 1

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Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. lim x → 0 ⁡ tanh ⁡ a x x
41-44. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.42. Se y = L for uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) , então: lim x → - ∞ ⁡ f x = Lelim x → + ∞ ⁡ f x = L
41-44. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.41. Temos lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = 1 + 0 + ∞ = 1 + ∞ = 1 .