36. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞   ⁡ s e n 2 ( x ) x 2 + 1

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞   ⁡ s e n 2 ( x ) x 2 + 1

Ou então, provar que ele não existe! Pra calcular esse limite temos que analisar nossa função com calma, sabemos que:

0 ≤ s e n 2 x ≤ 1

Se multiplicarmos todo mundo por 1 x 2 + 1 teremos:

0 ≤ s e n 2   x x 2 + 1 ≤ 1

Podemos ir além e fazer:

lim x → ∞   ⁡ 0 ≤ lim x → ∞   ⁡ s e n 2 x x 2 + 1 ≤ lim x → ∞   ⁡ 1 x 2 + 1

Passo 2

Pra a gente seguir vamos lembrar do teorema do confronto! Ele fiz que se tivermos as funções reais f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) reais e com o domínio dentro dos reais de forma que:

lim x → a   ⁡ f x = lim x → a   ⁡ h x = L

f x ≤ g x ≤ h x

Então:

lim x → a   ⁡ g x = L

Agora vamos olhar pra a nossa função:

0 ≤ s e n 2   x x 2 + 1 ≤ 1

Temos que:

lim x → ∞   ⁡ 0 = 0

lim x → ∞   ⁡ 1 x 2 + 1 = 0

Então podemos dizer que:

lim x → ∞   ⁡ s e n   ( x ) x 2 + 1 = 0

Prontinho!

Resposta

lim x → ∞   ⁡ s e n   ( x ) x 2 + 1 = 0

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