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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 25

25. Encontre o limite

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(x + 3 x ²))/(4 x + 1)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos primeiro dividir o numerador e o denominador da função por x , que é o termo de maior expoente, mas como no numerador temos uma raiz quadrada, iremos dividir por x ² . Logo

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(x + 3 x ²))/(4 x + 1) = underset(x -> oo)(lim) (sqrt((x)/(x^2) + (3 x^2)/(x^2)))/((4 x)/(x) + (1)/(x)) = underset(x -> oo)(lim) (sqrt((1)/(x) + 3))/(4 + (1)/(x))

Agora, iremos aplicar a propriedade de divisão e soma de limites para poder simplificar nosso limite

underset(x -> oo)(lim) (sqrt((1)/(x) + 3))/(4 + (1)/(x)) = underset(x -> oo)(lim) (sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) 3))/(underset(x -> oo)(l i m) 4 + underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x))

Passo 3

Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo, ficando com

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) + underset(x -> oo)(l i m) 3))/(underset(x -> oo)(l i m) 4 + underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x)) = (sqrt(0 + 3))/(4 + 0) = (sqrt(3))/(4)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(x + 3 x ²))/(4 x + 1) = (sqrt(3))/(4)

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