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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 8

Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde a > 0 , b , c , d são reais dados. Prove que existem número reais x 1 e x 2 tais que f x 1 < 0 e f x 2 > 0 .

Passo 1

Como temos a > 0 :

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ a x 3 + b x 2 + c x + d = lim x → + ∞ ⁡ x 3 a + b x + c x 2 + d x 3 = + ∞ × a = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 2

Do mesmo modo,

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ a x 3 + b x 2 + c x + d = lim x → - ∞ ⁡ x 3 a + b x + c x 2 + d x 3 = - ∞ × a = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Assim, encontraremos tanto valores negativos na função, quanto valores positivos.

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 < 0 e f x 2 > 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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