Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ e x x 3

Passo 1

Opa?! Temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x x 3

Essa questão é beeem direta, temos que encontrar o limite usando a regra de l’Hôspital quando for necessário.

Beleza, mas quando é necessário?!

Quando substituímos o valor de x na função e encontramos uma indeterminação na forma:

0 / 0     o u     ∞ / ∞

Então a primeira coisa que precisamos fazer é substituir o valor de x , se encontramos o valor de limite de cara, perfeito! Caso contrário podem acontecer duas coisas:

  • Encontramos a indeterminação 0 / 0     o u     ∞ / ∞ e aplicamos a regra de l’Hôspital;
  • Encontramos outro tipo de indeterminação e manipulamos a função pra tentar chegar na indeterminação acima.

Show, mas como usamos a regra de l’Hôspital?! Segundo ela temos que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Se, depois de aplicarmos a regra de l’Hôspital e voltarmos a encontrar a indeterminação da regra de l’Hôspital, então podemos aplicar a regra de novo, de novo e quantas vezes forem necessárias!

Vamos lá?!

Passo 2

Começamos tentando resolver o limite por substituição:

lim x → ∞ ⁡ e x x 3 = e ∞ ∞ 3 = ∞ ∞

Podemos então usar a Regra de L’Hospital!

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador:

lim x → ∞ ⁡ e x x 3 = lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 2

Agora é só calcular:

L = lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 2 = e ∞ 3 ∞ 2 = ∞ ∞

De novo caímos em uma indeterminação...

Passo 4

Vamos usar de novo a Regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ e x 3 x 2 = lim x → ∞ ⁡ e x 6 x

Calculando:

L = lim x → ∞ ⁡ e x 6 x = ∞ ∞

Outra vez...

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:

lim x → ∞ ⁡ e x 6 x = lim x → ∞ ⁡ e x 6

Então:

L = lim x → ∞ ⁡ e x 6 = ∞

Prontinho!

Resposta

L = ∞

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