Investigue a família das curvas dadas por . Em particular, encontre os limites quando e determine os valores e para os quais tem um mínimo absoluto. O que acontece aos mínimos quando cresce?

Temos que , encontrando os pontos críticos

Logo, para que haja ponto crítico e possível máximo e mínimo, . Já , ou seja, f é côncava para cima para qualquer valor real .

Vamos analisar os limites,

Como constante.

O que significa que

Para que as contas dependam de , ou seja,

Temos que

Se e

Se e

Então tem um mínimo absoluto em . Com é crescente então o mínimo esta em e cada vez mais longe da origem.