Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 31
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Se tentarmos calcular o limite aplicando a te
repare que se fizermos , vamos cair numa indeterminação, olha só:
Viu que deu ruim? Então vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!
Passo 3
Então faremos:
Como
Logo precisamos das derivadas das funções que formam o numerador e do o denominador.
Faremos isso separado primeiro, ok
Vamos começar com a função
Sua derivada será:
Já para a função
Sua derivada será calculada usando a regra da cadeia, onde:
Sendo
Assim:
Que pode ser escrita como:
Perfeito
Passo 4
Agora nosso limite se torna:
Que pode ser escrito com,
Repare que quando a função cresce muito rapidamente ao ponto de podermos considerar o termo como desprezível. Logo,
Portanto,
E prontinho. Limite calculado.