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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 42

Encontre o limite.

underset(x -> (pi)/(4))(lim) (s e n (x) - cos (x))/(cos (2 x))

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (s e n (x) - cos (x))/(cos (2 x))

Se fizermos x = (pi)/(4) :

L = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (s e n ((pi)/(4)) - cos ((pi)/(4)))/(cos (2 * (pi)/(4)))

Fazendo as contas:

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação do tipo 0 // 0 . Então vamos dar uma mexida.

Passo 2

Como cos (2 x) = cos^2 (x) - s e n^2 ( x ) :

L = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (s e n (x) - cos (x))/(cos^2 (x) - s e n^2 ( x ))

Fatorando a diferença de quadrados:

L = underset(x -> (pi)/(4))(lim) (s e n (x) - cos (x))/((cos (x) + s e n (x)) (cos (x) - s e n (x)))

Simplificando:

L = underset(x -> (pi)/(4))(lim) - (1)/(cos (x) + s e n (x))

Quando x -> pi // 4 :

L = - (1)/(cos ((pi)/(4)) + s e n ((pi)/(4)))

Logo,

L = - (1)/((2 sqrt(2))/(2))

Portanto:

L = - (sqrt(2))/(2)

Resposta

L = - (sqrt(2))/(2)

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