Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 1 8 x 3   d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

∫ 1 8 x 3   d x

Pra isso temos que usar a parte 2 o TFC.

Lembra como fazemos isso?

A parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo diz que uma integral definida em uma região a , b de uma função f x é dada por:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x .

Sacou?

Nesse caso, como nossa função f é uma função radical, mas podemos reescreve-la como uma função potencial para facilitar nossos cálculos e assim temos que lembrar do seguinte:

f x = a x n → F x = a x n + 1 n + 1 + C

Quando   n   ≠ - 1 .

Show? Bora começar!

Passo 2

Reescrevendo a função f x :

f x = x 3 → f x = x 1 3

Agora vamos calcular a antiderivada de f x pela regrinha do passo 1.

f x = x 1 3 → F x = x 1 3 + 1 1 3 + 1 + C

F x = 3 4 x 4 3 + C

Agora aplicando a antiderivada de f na parte 2 do TFC, temos:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 1 8 x 3   d x = 3 4 8 4 3 + C - 3 4 1 4 3 + C

∫ 1 8 x 3   d x = 12 + C - 3 4 - C

Perceba que sempre as contantes C vão se cancelar, por isso elas não aparecem no resultado final.

∫ 1 8 x 3   d x = 45 4

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 8 x 3   d x = 45 4

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