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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1l

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0

Passo 1

Temos que reescrever o limite, desmembrando a tangente e a diferença de dois quadrados:

underset(x -> p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x^2 - p^2) cos (x - p)) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p) (x + p) cos (x - p))

Separando o limite em produdos:

underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p) (x + p) cos (x - p)) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/((x + p) cos (x - p))

Passo 2

Para underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) podemos aplicar uma mudança de variáveis como h = x - p , com h tendendo a zero quando x tende p :

underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1

Para underset(x -> p)(lim) (1)/((x + p) cos (x - p)) basta substituir os valores:

underset(x -> p)(lim) (1)/((x + p) cos (x - p)) = (1)/((p + p) cos (p - p)) = (1)/(2 p cos 0) = (1)/(2 p)

Assim:

underset(x -> p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) = underset(x -> p)(lim) (sen (x - p))/((x - p)) xx underset(x -> p)(lim) (1)/((x + p) cos (x - p)) = 1 xx (1)/(2 p)

Logo:

underset(x -> p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) = (1)/(2 p)

Resposta

underset(x -> p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) = (1)/(2 p)

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underset(x - pi^+)(lim) (tan x)/(x - pi) (Sugestão: seja t = x - pi )
underset(x - 0)(lim) (tan^4 2 x)/(4 x^4)
underset(z - 0)(lim) (1 - cos 2 z)/(4 z)
underset(y - 0^+)(lim) (sin 4 y)/(cos 3 y - 1)
Ache o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (sin 5 t)/(sin 2 t)