Calcule.

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0

Passo 1

Temos que reescrever o limite, desmembrando a tangente e a diferença de dois quadrados:

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x 2 - p 2 cos ⁡ x - p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p x + p cos ⁡ x - p

Separando o limite em produdos:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p x + p cos ⁡ x - p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p × lim x → p ⁡ 1 x + p cos ⁡ x - p

Passo 2

Para lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p podemos aplicar uma mudança de variáveis como h = x - p , com h tendendo a zero quando x tende p :

lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Para lim x → p ⁡ 1 x + p cos ⁡ x - p basta substituir os valores:

lim x → p ⁡ 1 x + p cos ⁡ x - p = 1 p + p cos ⁡ p - p = 1 2 p cos ⁡ 0 = 1 2 p

Assim:

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 = lim x → p ⁡ sen ⁡ x - p x - p × lim x → p ⁡ 1 x + p cos ⁡ x - p = 1 × 1 2 p

Logo:

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 = 1 2 p

Resposta

lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 = 1 2 p

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