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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 46

Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( x 2 ) x

Passo 1

E aí! Pessoal! 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função

f x = sen ⁡ ( x 2 ) x

Para x tendendo a 0 .

Parece tranquilo? 👀

Como lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( x 2 ) = 0 e lim x → 0 ⁡ x = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então temos que aplicar algum método diferenciado para obter esse limite.

Perceba que nosso limite se parece muito com o limite fundamental

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ ( x ) x = 1

Vamos tentar usar essa informação a nosso favor...

Veja só! 😬

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 x 2

Como o limite do produto é o produto dos limites temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ x · lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2

Para lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 podemos aplicar a troca de variáveis w = x 2 de modo que quando x → 0 então w → 0 e x ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 temos então:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = 1

E como lim x → 0 ⁡ x = 0 , o limite inicial é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ x · lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = 0 · 1

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0

E aí! Legal, né? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0

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Nos exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.43)lim θ → 0 ⁡ c o s e c3 θ c o t gθ
Determine o limite a seguirunderset(theta - 0)(lim) (s e n sqrt(2 theta))/(sqrt(2 theta))
Determine o limite a seguirunderset(theta - 3^+)(lim) (⌊theta⌋)/(theta)