Enunciado

Nos exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

39 )   lim x → 3 ⁡ 2 x ³ - 5 x 2 - 2 x - 3 4 x ³ - 13 x ² + 4 x - 3

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 3, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = 2 x 3 - 5 x 2 - 2 x - 3 4 x 3 - 13 x 3 + 4 x - 3 = x - 3 . 2 x 2 + x + 1 x - 3 4 x 2 - x + 1 = 2 x 2 + x + 1 4 x 2 - x + 1

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m x → 3   2 x 2 + x + 1 4 x 2 - x + 1

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m x → 3   2 x 2 + x + 1 4 x 2 - x + 1 =   l i m x → 3 2 x 2 + x + 1 l i m x → 3 4 x 2 - x + 1

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 3 2 x 2 + x + 1 l i m x → 3 4 x 2 - x + 1 = l i m x → 3 2 x 2 + l i m x → 3   x + 1 l i m x → 3 4 x 2 - l i m x → 3   x - 1

Usando o Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

l i m x → 3 2 x 2 + l i m x → 3   x + 1 l i m x → 3 4 x 2 - l i m x → 3   x - 1 = l i m x → 3 2 . l i m x → 3 x 2 + l i m x → 3   x + 1 l i m x → 3 4 .   l i m x → 3 x 2 - l i m x → 3   x - 1

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 3   x + 1 = 3 + 1 = 4

l i m x → 3   x - 1 = 3 - 1 = 2

Pelo Teorema 2:

l i m x → 3 2 = 2

l i m x → 3 4 = 4

Usando o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n

l i m x → 3   x = 3

l i m x → 3 x 2 = 3 ² = 9

Então:

l i m x → 3 2 . l i m x → 3 x 2 + l i m x → 3   x + 1 l i m x → 3 4 .   l i m x → 3 x 2 - l i m x → 3   x - 1 = 2 . 9 + 4 4 . 9 - 2 = 22 34 = 0,647

Resposta

lim x → 3 ⁡ 2 x ³ - 5 x 2 - 2 x - 3 4 x ³ - 13 x ² + 4 x - 3 = 0,647

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48. Seja g x = s g n sin ⁡ x Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe. lim x → 0 + ⁡ g ( x ) lim x → 0 - ⁡ g ( x ) lim x → 0⁡ g ( x ) lim x → π + ⁡ g ( x ) lim x → π
Para f x = x ln ⁡ x encontre cada um dos seguintes limites:(i) lim x → 0 + ⁡ f x (ii)lim x → 1 - ⁡ f x (iii)lim x → 1 + ⁡ f x
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:a) lim x → 3 - ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:b) lim x → 0 - ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:b) lim x → - 2 - ⁡ f ( x )