Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1

Passo 1

Simboráa

Para encontrar o limite

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1

Vamos analisar a forma do limite à medida que x → 1

Observamos que tanto o numerador ( x a –   1 ) quanto o denominador ( x b –   1 ) tendem a 0 .

Portanto, estamos lidando com a forma 0 / 0 , o que sugere que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada.

A regra de L'Hôpital nos diz para tomar as derivadas do numerador e do denominador:

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1

lim x → 1 ⁡ d d x x a - 1 d d x x b - 1

Passo 2

Calculamos as derivadas:

- A derivada de ( x a –   1 ) é a x a - 1 .

- A derivada de ( x b –   1 ) é b x b - 1 .

Portanto, aplicando a regra de L'Hôpital, temos:

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 b x b - 1

Simplificando a expressão:

a b lim x → 1 ⁡ x a - 1 - ( b - 1 )

a b lim x → 1 ⁡ x a - b

Passo 3

À medida que

( x   → 1 ) ,   ( x a - b → 1 ) .  

Portanto, o limite é:

a b ⋅ 1 = a b

Portanto, o limite é:

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 = a b

A aplicação da regra de L'Hôpital foi apropriada aqui e nos levou ao resultado final de forma clara e direta.

Resposta

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 = a b

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