Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 90

Se f ' ' for contínua, mostre que

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = f ' ' x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que mostrar que

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = f ' ' x

Assim... simples e direto...

Tem ideia de como fazemos isso?

Vamos tentar calcular esse limite e ver no que dá

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = f x + 0 - 2 f x + f ( x - 0 ) 0 2

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = 2 f x - 2 f x 0 2

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f x - h h 2 = 0 0

Caímos em uma indeterminação! E agora?

Para contornar esse problema podemos aplicar a regra de L’Hopital

Para aplicar essa regra, temos que cair em uma indeterminação 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador repetidamente até nos livrarmos da indeterminação.

lim ⁡ f x g x = lim ⁡ f ' x g ' x

Bora lá!

Passo 2

Vamos calcular a derivada do numerador primeiramente pela regra da cadeia em relação a h (pois o que tende a 0 no limite é h e não x ...)

d f x + h - 2 f x + f x - h d h = d x + h d h · f ' x + h - d 2 f x d h + d x - h d h · f ' x - h

d f x + h - 2 f x + f x - h d h = 1 · f ' x + h - 0 - 1 · f ' x - h

d f x + h - 2 f x + f x - h d h = f ' x + h - f ' x - h

Agora a derivada do denominador

d h 2 d h = 2 h

Substituindo no limite, temos

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' ( x - h ) 2 h

Aplicando o limite agora, chegamos em

lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' ( x - h ) 2 h = f ' x + 0 - f ' ( x - 0 ) 2 0

lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' ( x - h ) 2 h = f ' x - f ' ( x ) 0

lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x - h 2 h = 0 0

Caímos em uma undeterminação denovo!

Então temos que aplicar a regra de L’Hopital mais uma vez...

Veja só!

Passo 3

Calculando a derivada do numerador pela regra da cadeia

d f ' x + h - f ' x - h d h = d x + h d h · f ' ' x + h - d x - h d h · f ' ' x - h

d f ' x + h - f ' x - h d h = 1 · f ' ' x + h - - 1 · f ' ' x - h

d f ' x + h - f ' x - h d h = f ' ' x + h + f ' ' x - h

Agora a derivada do denominador

d 2 h d h = 2

Substituindo no limite

lim h → 0 ⁡ f ' x + h - f ' x - h 2 h = lim h → 0 ⁡ f ' ' x + h + f ' ' x - h 2

Se aplicarmos o limite agora, vamos obter

lim h → 0 ⁡ f ' ' x + h + f ' ' x - h 2 = f ' ' x + 0 + f ' ' x - 0 2

lim h → 0 ⁡ f ' ' x + h + f ' ' x - h 2 = f ' ' x + f ' ' x 2 = 2 f ' ' x 2

lim h → 0 ⁡ f ' ' x + h + f ' ' x - h 2 = f ' ' x

E finalmente chegamos em f ' ' x .

Com isso provamos que

lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f x - h h 2 = f ' ' x

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ 1 - e - 2 x s e
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim t → 0 ⁡e t - 1 t 3
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡x + t g x s e n x
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ 1 ln ⁡ x - 1 x -
Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato. lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + 5 - ln ⁡ x