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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 88

Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?

lim x → 0 ⁡ s e n   2 x x 3 + a + b x 2 = 0

Passo 1

E aeeee, belezinha?? Bom, esse é um exercício que requer um pouco de interpretação: não basta sair fazendo contas mecanicamente...

A questão nos pede para fazer com que a seguinte igualdade seja verdadeira:

lim x → 0 ⁡ s e n   2 x x 3 + a + b x 2 = 0

Para isso, devemos determinar os valores de a e b que validam essa igualdade!!

Em outras palavras, notemos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   2 x x 3 = lim x → 0 ⁡ 2 x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n   2 x 2 x = ∞

Assim, para que o limite pedido dê 0 , temos que primeiro achar uma condição para a e b que force algum tipo de indeterminação. Vamos fazer isso!!!

Passo 2

Fazendo o mmc, temos que

s e n   2 x x 3 + a + b x 2 = s e n   2 x + a x 3 + b x x 3

Quando x → 0 , temos uma indeterminação do tipom 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Lembrando que essa regrinha diz para derivarmos o numerador e o denominador e, em seguida, aplicarmos os valores derivados no limite!

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ s e n   2 x + a x 3 + b x x 3 = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ 2 x + 3 a x 2 + b 3 x 2

Fazendo x → 0 , o numerador tende a 2 + b e o denominador a 0 .

Como queremos que esse limite seja 0 , devemos impor uma indeterminação do tipo 0 / 0 aqui para que isso seja possível.

Assim, devemos ter b + 2 = 0 , logo b = - 2 .

Desta forma, o limite é indeterminado do tipo 0 / 0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital novamente:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ 2 x + 3 a x 2 + b 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - 4   s e n   2 x + 6 a x 6 x

Este limite segue indeterminado do tipo 0 / 0 , então podemos aplicar a regra de L’Hospital novamente...

Passo 4

Aplicando a regra mais uma vez

lim x → 0 ⁡ - 4   s e n   2 x + 6 a x 6 x = lim x → 0 ⁡ - 8 cos ⁡ 2 x + 6 a 6 ∴

lim x → 0 ⁡ - 4   s e n   2 x + 6 a x 6 x = 6 a - 8 6

Como queremos que o limite seja 0 , devemos ter

6 a - 8 6 = 0

Logo,

6 a - 8 = 0 ∴

a = 8 6 = 4 3

Resposta

a = 4 3

b = - 2

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x x + 1 x
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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x
Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato. lim x → π 4 ⁡t g x t g 2 x