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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1l

Calcule

l) underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)

Passo 1

Vamos substituir x = 0 pra ver no que dá:

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x) = (t g (0) - s e n (0))/(s e n^3 (0)) = (0 - 0)/(0) = (0)/(0)

Opa, esse limite tem uma indeterminação do tipo “ (0)/(0) “. Nesse caso, nós podemos aplicar a regra de L’Hospital!

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador, prestando atenção na regra da cadeia:

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x) = underset(x -> 0)(lim) (3 sec^2 3 x - cos x)/(3 s e n^2 x c o s x)

Vamos tentar substituir x = 0 novamente:

underset(x -> 0)(lim) (3 sec^2 3 x - cos x)/(3 s e n^2 x c o s x) = (3 sec^2 (0) - c o s ( 0 ))/(3 s e n^2 (0) cos (0)) = (3 (1^2) - 1)/(3 (0^2) (1)) = (2)/(0)

E então, um número dividido por 0 tende ao infinito!

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x) = + oo

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x) = + oo

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