Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 32
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! 😁
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Se calcularmos diretamente o limite podemos verificar se há a existência de uma indeterminação. E veja que:
Temos a indeterminação da forma , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.
Passo 3
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
No numerador temos uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia. Fazendo:
Sua derivada será: a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro. Assim:
Sendo
Assim:
Que pode ser escrita com:
Já no denominador temos:
E sua derivada será:
E nosso limite será:
Aplicando a tendência de ficamos com:
O que nos gerou uma nova indeterminação. Então devemos usar L'Hôspital mais uma vez.
Passo 4
E derivando o numerador e o denominador novamente teremos:
Que se torna:
Podenos der escrita como:
E aplicando a tendência de ficamos com:
Quando o numerador tende a um número finito e o denominador tende a um número muito grande, faz o limite se aproximar de . E assim, conseguimos sair da indeterminação e calcular nosso limite.