Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 31
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Oiee vamos resolver mais uma?
Quando nos deparamos com o limite
Estamos interessados em entender como a função arcseno se comporta em relação a quando se aproxima de zero.
A função arcseno representa o ângulo cujo seno é
Para valores próximos de zero, o arcseno de é também próximo de
Isso ocorre porque, para ângulos pequenos, o seno do ângulo se aproxima do próprio ângulo em radianos.
Portanto, quando se aproxima de zero, se aproxima de
Consequentemente, o limite
Se aproxima de 1.
Essa intuição é fundamentada na ideia de que, para valores pequenos de o comportamento do arcseno é "quase linear", e sua taxa de variação é aproximadamente a mesma que a de .
Isso resulta em um limite próximo de 1, como ocorre com o limite
Passo 2
Para encontrar o limite
Podemos usar um método mais elementar sem recorrer à regra de L'Hôpital.
Sabemos que
Que é um resultado bem conhecido da análise matemática.
Usaremos esse resultado para resolver o limite dado.
Observe que é a função inversa de portanto, e são essencialmente as mesmas funções para valores próximos de zero, mas com ordem inversa.
Passo 3
Assim, podemos reescrever o limite como:
Portanto, o limite
é igual a 1, sem a necessidade de usar a regra de L'Hôpital.
Portanto, podemos entender que, à medida que se aproxima de zero, a função arcseno e se comportam de maneira semelhante, e o limite tende a 1, refletindo essa relação próxima entre a função arcseno e a própria variável