Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 1 +   ( ⁡ 1 1 - x - 1 ln ⁡ x   )  

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Primeiro, vamos reescrever o limite, para ficarmos com uma fração só:

lim x → 1 +   ( ⁡ 1 1 - x - 1 ln ⁡ x   ) = l i m x → 1 +   ln ⁡ x - x - 1 ( 1 - x ) ( ln ⁡ x )  

Se substituirmos o valor x = 1     ficamos com 0 0 (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

l i m x → 1 +   ln ⁡ x - x - 1 ( 1 - x ) ( ln ⁡ x ) =   l i m x → 1 + 1 x - 1 ln ⁡ x + x - 1 1 x

l i m x → 1 + 1 - x x ln ⁡ x + x - 1

Derivamos de novo...

l i m x → 1 + 1 - x x ln ⁡ x + x - 1 = l i m x → 1 + - 1 ( ln ⁡ x + 1 )   + 1  

Substituímos o valor, e...

l i m x → 1 + - 1 ( ln ⁡ x + 1 )   + 1 =   - 1 ln ⁡ 1 + 1 + 1 = - 1 0 + 2 =   - 1 2

E... Prontinho😉

Resposta

lim x → 1 +   ( ⁡ 1 1 - x - 1 ln ⁡ x   ) =   - 1 2

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