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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 43

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m θ → 0 +   c o s θ - 1 e θ - θ - 1

Passo 1

Substituindo o l i m , teremos uma indeterminação no primeiro limite do tipo 0 0 :

l i m x → 0 +   c o s θ - 1 e θ - θ - 1 = c o s 0 - 1 e 0 - 0 - 1 = l i m x → 0 +   1 - 1 1 - 1 = 0 0

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital no primeiro l i m , derivamos o termo no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m θ → 0 +   c o s θ - 1 e θ - θ - 1 → l i m θ → 0 + d d θ c o s θ - 1 d d θ e θ - θ - 1 → l i m θ → 0 + d d θ c o s θ - d d θ - 1 d d θ e θ - d d θ θ - d d θ 1

l i m θ → 0 + - s i n θ e θ - 1

Passo 2

Substituindo o valor no limite teremos uma nova indeterminação:

l i m θ → 0 + - s i n θ e θ - 1 = - s i n 0 e 0 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0

Passo 3

Aplicando a regra de L`Hopital mais uma vez, teremos que:

l i m θ → 0 + - d d θ s i n θ d d θ e θ - 1 = l i m θ → 0 + - d d θ s i n θ d d θ e θ - d d θ 1 = l i m θ → 0 + - c o s θ e θ

Passo 4

Substituindo o valor no limite teremos que:

l i m θ → 0 + - c o s θ e θ = - c o s 0 e 0 = - 1 1 = - 1

Resultado

Logo, conseguimos achar depois de aplicado duas vezes a regra de L’Hopital, o valor definido do l i m da equação. O limite então possui o seguinte valor:

l i m x → 0 +   c o s θ - 1 e θ - θ - 1 = - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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