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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 77

underset(x -> 0)(lim) (5 - 5 cos x)/(e^x - x - 1)

Passo 1

Substituindo x = 0 , no numerador, temos:

5 - 5 cos 0 = 0

Substituindo x = 0 , no denominador, temos:

e^0 - 0 - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

underset(x -> 0)(lim) (5 - 5 cos x)/(e^x - x - 1) = underset(x -> 0)(lim) (5 sin x)/(e^x - 1)

Para o novo limite, repete-se o Passo 1:

5 sin 0 = 0

e^0 - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital novamente.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

underset(x -> 0)(lim) (5 sin x)/(e^x - 1) = underset(x -> 0)(lim) (5 cos x)/(e^x)

Para o novo limite, substituindo x = 0 , temos:

underset(x -> 0)(lim) (5 cos x)/(e^x) = underset(x -> 0)(lim) (5)/(e^0) = 5

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (5 - 5 cos x)/(e^x - x - 1) = 5

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