Sejam f e g deriváveis até 2ª ordem em ]p,b[, com g''(x) ≠ 0 em ]p,b[. Suponha que

lim(x → p+) f(x) = lim(x → p+) f'(x) = 0 e lim(x->p) g(x) = lim(x->p) g'(x) = 0

Ou

lim(x -> p+) f(x) = lim(x -> p+) f'(x) = +∞ e lim(x → p+) g(x) = g'(x) = ±∞

Prove que, se lim x → p (f''(x) / g''(x)) existir (finito ou infinito) então lim x→p (f(x) / g(x)) existirá e lim(x -> p+) f(x) / g(x) = lim(x -> p+) f''(x) / g''(x) Generalize tal resultado

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Basicamente temos que mostrar que exite a razão de duas funções deriváveis de segunda ordem.

Para fazer isso vamos fazemos algumas suposições!

Passo 2

Supondo que exista

g ' ' p = f ' ' ( p ) ≠ 0

E

l i m x → p +   f x = f ' p = 0 e l i m x → p + g x = g ' p = 0

Então

l i m x → p + f ' x g ' x = f ' ' p g ' ' p

Passo 3

Para provar temos

f ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) - f ' ( p ) x - p        

E

g ' ' p = l i m ⁡ x → p + g ' ( x ) - g ' ( p ) x - p      

Portanto

f ' ' p g ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) - f ' ( p ) g ' ( x ) - g ' ( p )   ×   x - p x - p

como

f ' p = 0 e g ' p = 0

f ' ' ( p ) g ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) g ' ( x )    

Para demostrar para o caso geral basta substituir p   por 0 ou infinito

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados