Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 36
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Temos que calcular o seguinte limite:
Mas a questão diz que podemos tentar usar algum método mais elementar. Isso pode ser feito tentando reescrever a função de uma forma mais simples.
Então vamos lembrar que como . Assim, podemos escrever a função como sendo:
Arrumando, temos:
Passo 3
Pra finalizar, basta fazermos que é a nossa tendência de . Olha só:
Como :
Portanto,
E nosso limite foi calculado sem a regra, apenas de modo mais elementar.