Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ 1 - e - 2 x s e c ⁡ ( x )

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:

lim x �� 0 ⁡ 1 - e - 2 x s e c ⁡ ( x )

E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.

Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.

A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.

A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Assim, se

lim x → ∞ ⁡   f x g x = ∞ ∞

Podemos fazer:

lim x → ∞ ⁡   f x g x = lim x → ∞ ⁡   f ' x lim x → ∞ ⁡   g ' x

Agora vamos tentar calcular nosso limite.

Passo 2

Temos que calcular o seguinte limite:

L = lim x → 0 ⁡ 1 - e - 2 x s e c ⁡ ( x )

Mas a questão diz que podemos tentar usar algum método mais elementar. Isso pode ser feito tentando reescrever a função de uma forma mais simples.

Então vamos lembrar que como sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x . Assim, podemos escrever a função como sendo:

L = lim x → 0 ⁡ 1 - e - 2 x 1 cos ⁡ x

Arrumando, temos:

L = lim x → 0 ⁡ 1 - e - 2 x ⋅ cos ⁡ x

Passo 3

Pra finalizar, basta fazermos x = 0 que é a nossa tendência de x . Olha só:

L = 1 - e - 2 ⋅ 0 ⋅ cos ⁡ 0

Como cos ⁡ 0 = 1 :

L = 1 - 1 ⋅ 1

Portanto,

L = 0

E nosso limite foi calculado sem a regra, apenas de modo mais elementar.

Resposta

L = 0

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