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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 16

Encontre os limites nos Exercícios 13-24 reescrevendo primeiro as frações.

lim x ,  y → 2 ,   - 4 y ≠ - 4 ,   x ≠ x 2 ⁡ y + 4 x 2 y - x y + 4 x 2 - 4 x

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Dizemos que uma função f x ,   y se aproxima do limite L à medida que x ,   y se aproxima de x 0 ,   y 0 e escrevemos:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = L

Antes de resolvermos o limite, iremos reescrever a equação:

y + 4 x 2 y - x y + 4 x 2 - 4 x

No denominador, iremos colocar o x em evidência:

= y + 4 x ( x y - y + 4 x - 4 )

Agrupando os termos:

= y + 4 x ( x y - y ) + ( 4 x - 4 ) = y + 4 x y ( x - 1 ) + 4 ( x - 1 )

Colocando o ( x - 1 ) em evidência:

= y + 4 x ( x - 1 ) ( y + 4 ) = 1 x ( x - 1 )

Passo 2

Substituindo os valores de x e y :

lim x ,  y → 2 ,   - 4 y ≠ - 4 ,   x ≠ x 2 ⁡ y + 4 x 2 y - x y + 4 x 2 - 4 x = lim x → 2 ⁡ 1 x ( x - 1 )

= 1 2 ( 2 - 1 ) = 1 2

Até mais galerinha.

Resposta

lim x ,  y → 2 ,   - 4 y ≠ - 4 ,   x ≠ x 2 ⁡ y + 4 x 2 y - x y + 4 x 2 - 4 x = 1 2 .

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Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
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Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 1 , - 1 ))(lim) (3 x - 2 y) = 5