Usando a definição de limite, mostre que:

e) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |(x y^3)/(x^2 + y^2) - 0| < epsilon sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Passo 2

Podemos reorganizar |(x y^3)/(x^2 + y^2) - 0| da seguinte forma:

|(x y^3)/(x^2 + y^2) - 0| = (|x| |y^3|)/(x^2 + y^2) = (|x| |y| y^2)/(x^2 + y^2)

E também podemos dizer que:

y^2 <= x^2 + y^2

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

|(x y^3)/(x^2 + y^2)| <= (|x| |y| (x^2 + y^2))/(x^2 + y^2)

Simplificando os termos, nós temos:

|(x y^3)/(x^2 + y^2)| <= |x| |y|

Podemos dizer também que |x| <= sqrt(x^2 + y^2) e também que |y| <= sqrt(x^2 + y^2) . Assim podemos reescrever a expressão acima como:

|(x y^3)/(x^2 + y^2)| <= sqrt(x^2 + y^2) * sqrt(x^2 + y^2)

Como 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta , podemos dizer que:

|(x y^3)/(x^2 + y^2)| <= delta^2

Passo 4

Assim, se tomamos delta = sqrt(epsilon) podemos dizer que:

|(x y^3)/(x^2 + y^2)| <= epsilon

Sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Com isso provamos que:

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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