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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 11a

Usando a definição de limite, mostrar que:

underset([[x -> - 1],[y -> 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9

Passo 1

Pra calcular o limite pela definição, o que a gente tem que fazer é mostrar que, para todo epsilon > 0 , existe um delta > 0 tal que:

|f (x , y) - (- 9)| < epsilon

Sempre que 0 < sqrt((x + 1)^2 + (y - 2)^2) < delta , onde f (x , y) = 5 x - 2 y . Vamos começar dando uma manipulada nessa expressão.

|f (x , y) - (- 9)| = |f (x , y) + 9| = |5 x - 2 y + 9|

Agora a gente faz aparecerem valores proporcionais a ( x + 1 ) e a ( y - 2 ) nessa expressão. Dividindo o 9 em duas partes:

|5 x - 2 y + 9| = |5 x + 5 - 2 y + 4|

|5 x - 2 y + 9| = |5 (x + 1) - 2 (y - 2)|

Botando o sinal de menos pra dentro:

|5 x - 2 y + 9| = |5 (x + 1) + 2 (- y + 2)|

Pela desigualdade triangular:

|5 x - 2 y + 9| <= 5 |x + 1| + 2 |- y + 2|

Passo 2

Daqui, a gente pode escrever:

|x + 1| <= sqrt((x + 1)^2 + (y - 2)^2) < delta

|- y + 2| <= sqrt((x + 1)^2 + (y - 2)^2) < delta

Isso é verdade porque para números positivos a e b , a <= sqrt(a^2 + b^2) . Demonstramos isso assim:

a <= sqrt(a^2 + b^2)

Elevando ao quadrado (já que os dois lados são positivos):

a^2 <= a^2 + b^2

b^2 >= 0

E isso é sempre verdade! Qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a 0 .

Continuando, podemos escrever:

5 |x + 1| + 2 |- y + 2| < 5 delta + 2 delta = 7 delta

Se a gente pegar delta = (epsilon)/(7) ,

5 |x + 1| + 2 |- y + 2| < 7 ((epsilon)/(7))

5 |x + 1| + 2 |- y + 2| < epsilon

Comprovamos o que queríamos, que existe um delta e um epsilon satisfazendo aquela condição, então está provado que:

underset([[x -> - 1],[y -> 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize uma tabela de valores numéricos de f x ,y para x ,y perto da origem para conjecturar sobre o limite de f x ,y quando x ,y → 0 ,0 . Em seguida, explique por que sua conjectura está correta. f x
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Calcule lim t → 0 ⁡ F → ( t ) onde F → t = tg ⁡ 3 t t , e 2 t - 1 t , t 3
Calcule lim t → 1 ⁡ F → ( t ) onde F → t = t - 1 t - 1 , t 2 , t - 1 t
Calcule lim t → 2 ⁡ r → ( t ) onde r → t = t 3 - 8 t 2 - 4i → + cos ⁡ π t t - 2j → + 2 tk →