Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12

Enunciado

Pra calcular o limite pela definição, o que a gente tem que fazer é mostrar que, para todo , existe um tal que:

Sempre que , onde .

Vamos começar dando uma manipulada nessa expressão.

Agora a gente faz aparecerem valores proporcionais a e a nessa expressão. Dividindo o em duas partes:

Pela desigualdade triangular:

Daqui, a gente pode escrever:

Isso é verdade porque para números positivos e , . Demonstramos isso assim:

Elevando ao quadrado (já que os dois lados são positivos):

E isso é sempre verdade! Qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a .

Continuando, podemos escrever:

Se a gente pegar ,

Comprovamos o que queríamos, que existe um e um satisfazendo aquela condição, então está provado que:

Ei, a resposta está no passo a passo :)