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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 11b

Usando a definição de limite, mostrar que:

underset((x , y) -> ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12

Passo 1

Pra calcular o limite pela definição, o que a gente tem que fazer é mostrar que, para todo epsilon > 0 , existe um delta > 0 tal que:

|f (x , y) - 12| < epsilon

Sempre que 0 < sqrt((x - 2)^2 + (y - 3)^2) < delta , onde f (x , y) = 3 x + 2 y .

Vamos começar dando uma manipulada nessa expressão.

|f (x , y) - 12| = |3 x + 2 y - 12|

Agora a gente faz aparecerem valores proporcionais a ( x - 2 ) e a ( y - 3 ) nessa expressão. Dividindo o 12 em duas partes:

|3 x + 2 y - 12| = |3 x - 6 + 2 y - 6|

|3 x + 2 y - 12| = |3 (x - 2) + 2 ( y - 3 )|

Pela desigualdade triangular:

|3 x + 2 y - 12| <= 3 |x - 2| + 2 |y - 3|

Passo 2

Daqui, a gente pode escrever:

|x - 2| <= sqrt((x - 2)^2 + (y - 3)^2) < delta

|y - 3| <= sqrt((x - 2)^2 + (y - 3)^2) < delta

Isso é verdade porque para números positivos a e b , a <= sqrt(a^2 + b^2) . Demonstramos isso assim:

a <= sqrt(a^2 + b^2)

Elevando ao quadrado (já que os dois lados são positivos):

a^2 <= a^2 + b^2

b^2 >= 0

E isso é sempre verdade! Qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a 0 .

Continuando, podemos escrever:

3 |x - 2| + 2 |y - 3| < 3 delta + 2 delta = 5 delta

Se a gente pegar delta = (epsilon)/(5) ,

3 |x - 2| + 2 |y - 3| < 5 ((epsilon)/(5))

3 |x - 2| + 2 |y - 3| < epsilon

Comprovamos o que queríamos, que existe um delta e um epsilon satisfazendo aquela condição, então está provado que:

underset((x , y) -> ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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