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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 13

Encontre os limites.

13. underset(t -> 2)(lim) (t^3 + 3 t^2 - 12 t + 4)/(t^3 - 4 t)

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 2 direto em t, chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

underset(t -> 2)(lim) (t^3 + 3 t^2 - 12 t + 4)/(t^3 - 4 t) =

Aqui, a opção é fazer a decomposição do polinômio de 3º grau, por Briot-Ruffini, em termos mais simples!

underset(t -> 2)(lim) (( t - 2 ) ( t^2 + 5 t - 2 ))/(( t - 2 ) ( t^2 + 2 t )) = underset(t -> 2)(lim) (( t^2 + 5 t - 2 ))/(( t^2 + 2 t )) =

(( 2^2 + 5 * 2 - 2 ))/(( 2^2 + 2 * 2 )) = (4 + 10 - 2)/(4 + 4) =

(12)/(8) = (3)/(2)

Resposta

underset(t -> 2)(lim) (t^3 + 3 t^2 - 12 t + 4)/(t^3 - 4 t) = (3)/(2)

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