Encontre os limites

32. underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 3 x) - x

Passo 1

Pra alguns casos de limites no infinito, se imediatamente aplicamos +- oo em x , a gente chega à reposta que o limite é igualmente infinito, logo, não existe.

Porém, fazendo algumas pequenas alterações na função a gente consegue ver que, na realidade, o limite existe, sim. E os casos em que a gente tem radicais isso acontece com frequência.

Se conseguimos simplificar os radicais, simplificando a nossa função como um todo, podemos chegar a um resultado numérico pro limite, em boa parte dos casos.

O melhor modo pra fazer isso é a racionalização. Vamos ver melhor abaixo

Passo 2

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 3 x) - x = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 3 x) - x * (sqrt(x^2 - 3 x) + x)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x)

Aqui a gente multiplica (em cima e em baixo pra manter a igualdade) pelo conjugado, pra chegarmos no produto notável do tipo ( a^2 - b^2 ) . Assim, nos livramos do radical no numerador, e podemos fazer uma simplificação interessante:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 3 x) - x * (sqrt(x^2 - 3 x) + x)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x) = underset(x -> + oo)(l i m) (x^2 - 3 x - x^2)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x) =

= underset(x -> + oo)(l i m) (- 3 x)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x)

Passo 3

Aqui, podemos simplificar ainda mais a função dividindo todos os termos por sqrt(x^2) , que equivale a x (já que nosso limite tende a + oo , caso tendesse a - oo deveríamos adicionar um sinal de – pra ajustar o sinal).

Fazemos isso pra que possamos dividir dentro do radical também. Vamos ter:

underset(x -> + oo)(l i m) (- 3 x)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x) = underset(x -> + oo)(l i m) (- 3 x)/(sqrt(x^2 - 3 x) + x) * ((1)/(x))/((1)/(sqrt(x^2))) =

= underset(x -> + oo)(l i m) (- 3)/(sqrt(x - 3) + 1)

Agora, o macete é dividir o conteúdo do radical no denominador pelo termo de maior grau de x . Sendo o maior grau 1, vamos ter:

underset(x -> + oo)(l i m) (- 3)/(sqrt(1 - (3)/(x)) + 1) = (- 3)/(sqrt(1 - 0) + 1) = - (3)/(2)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 3 x) - x = - (3)/(2)

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