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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 16

Encontre d y // d x .

y = x [log_2 (x^2 - 2 x)]^3

Passo 1

Para solucionarmos essa derivada, aplicamos a regra do produto:

(f xx g)^' = f^' xx g + f xx g^'

Portanto, temos:

(d)/(d x) (x) xx [log_2 (x^2 - 2 x)]^3 + x xx (d)/(d x) [log_2 (x^2 - 2 x)]^3

Usamos a regra da cadeia para a derivada da função composta:

(f (g))^' = f^' (g) xx g '

Considerando g = log_2 (x^2 - 2 x) , então:

(d)/(d g) (g^3) xx (d)/(d x) (log_2 (x^2 - 2 x))

3 g^2 xx (1)/(ln 2 xx (x^2 - 2 x)) xx ( 2 x - 2 )

Substituindo o valor de g :

3 log_2 (x^2 - 2 x)^2 xx (2 x - 2)/(ln 2 xx (x^2 - 2 x))

Portanto, substituímos na nossa expressão geral:

[log_2 (x^2 - 2 x)]^3 + x xx 3 log_2 (x^2 - 2 x)^2 xx (2 x - 2)/(ln 2 xx (x^2 - 2 x))

= [log_2 (x^2 - 2 x)]^3 + (6 log_2 (x^2 - 2 x)^2 xx x - 6 log_2 (x^2 - 2 x)^2)/(ln 2 xx (x - 2))

Portanto, (d)/(d x) (x [log_2 (x^2 - 2 x)]^3) = [log_2 (x^2 - 2 x)]^3 + (6 log_2 (x^2 - 2 x)^2 xx x - 6 log_2 (x^2 - 2 x)^2)/(ln 2 xx (x - 2)) .

Prontinho!!

Resposta

[log_2 (x^2 - 2 x)]^3 + (6 log_2 (x^2 - 2 x)^2 xx x - 6 log_2 (x^2 - 2 x)^2)/(ln 2 xx (x - 2))

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