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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 15

Encontre os vetores velocidade e posição de uma partícula que possui a aceleração dada e velocidade e posição dadas.

a → ( t ) = 2   i → + 2 t   k →

v → 0 = 3   i → -   j →

r → ( 0 ) =   j → +   k →

Passo 1

Sabendo que a aceleração é a taxa com que a velocidade varia no tempo, podemos fazer:

v → t = ∫ a → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

v → t = 2 t   i → + t 2   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da velocidade inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da velocidade temos:

v → 0 = C = 3 i → - j →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da velocidade no tempo é”

v → t = 2 t   i → + t 2   k → + 3   i → - j →

Agrupando os termos semelhantes, temos

v → t = 2 t + 3 i → - j → + t 2   k →

Passo 2

Sabendo que a velocidade é a taxa com que a posição varia no tempo, podemos fazer:

r → t = ∫ v → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

r → t = t 2 + 3 t i → - t   j → + t 3 3   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da posição inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da posição temos:

r → 0 = C = j → + k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da posição no tempo é:

r → t = t 2 + 3 t i → - t   j → + t 3 3   k → + j → + k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

r → t = t 2 + 3 t i → + 1 - t j → + t 3 3 + 1 k →

Resposta

Os vetores velocidade e posição da partícula são:

v → t = 2 t + 3 i → - j → + t 2   k →

r → t = t 2 + 3 t i → + 1 - t j → + t 3 3 + 1 k →

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Seja f → t = sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + 2 k → e h t = 1 t . Calcular:(a) lim t → 0 ⁡ [ f → t ]
Seja f → t = sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + 2 k → e h t = 1 t . Calcular:(b) lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(a) lim t → π ⁡ [ cos ⁡ t i → + t 2 j → - 5 k → ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(b) lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3i → + j →
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t