Encontre os vetores velocidade e posição de uma partícula que possui a aceleração dada e velocidade e posição dadas.

a(t) = 2 + 2t + k

v → 0 = 3 - i → - j →

r(0) = j + k

Passo 1

Sabendo que a aceleração é a taxa com que a velocidade varia no tempo, podemos fazer:

v → t = ∫ a → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

v → t = 2 t   i → + t 2   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da velocidade inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da velocidade temos:

v → 0 = C = 3 i → - j →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da velocidade no tempo é”

v → t = 2 t   i → + t 2   k → + 3   i → - j →

Agrupando os termos semelhantes, temos

v → t = 2 t + 3 i → - j → + t 2   k →

Passo 2

Sabendo que a velocidade é a taxa com que a posição varia no tempo, podemos fazer:

r → t = ∫ v → ( t ) d t

Integrando componente a componente temos:

r → t = t 2 + 3 t i → - t   j → + t 3 3   k → + C

Para determinarmos a constante, podemos fazer uso da posição inicial dada. Fazendo t=0 na expressão da posição temos:

r → 0 = C = j → + k →

Dessa maneira, podemos concluir que a expressão da posição no tempo é:

r → t = t 2 + 3 t i → - t   j → + t 3 3   k → + j → + k →

Agrupando os termos semelhantes, temos

r → t = t 2 + 3 t i → + 1 - t j → + t 3 3 + 1 k →

Resposta

Os vetores velocidade e posição da partícula são:

v → t = 2 t + 3 i → - j → + t 2   k →

r → t = t 2 + 3 t i → + 1 - t j → + t 3 3 + 1 k →

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