b) Encontre novas estimativas usando 8 retângulos.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico de f no intervalo de x = 0 até x = 8 , utilizando 8 retângulos.

Pra isso, vamos relembrar que as estimativas superiores e inferiores, em um intervalo a , b ,   são obtidas através da soma:

S   = ∑ i = o n   f x i Δ x

Onde i = 0 ,   ⋯ , n   e Δ x = b - a n .

Como já foi dado o intervalo, temos que a = 0 e b = 8 . E como f é crescente podemos obter uma estimativa inferior usando os pontos da esquerda e os pontos interiores da direita para obter a estimativa superior.

Nós fomos instruídos a usar 8 retângulos, então n = 8   e como Δ x = b - a n , temos que:

Δ x = 8 - 0 8 = 1  

Então, vamos escolher alguns pontos no gráfico e usar a fórmula para obter as estimativas de áreas através da soma dos retângulos.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a fórmula, com Δ x = 1 , vamos fazer a estimativa inferior:

L 8 = ∑ i = 0 8   f x i Δ x = Δ x f x 0 + f x 1 + f x 3 + ⋯ + f x 7

Então, escolhendo alguns pontos do gráfico para fazer uma estimativa inferior, temos:

L 8 = 1 ∙ f 0 + f 1 + f 2 + f 3   + ⋯ + f 7

Desenhando esses retângulos abaixo da curva no gráfico, olha só como fica:

Daí, nós conseguimos extrais os valores de f ( x ) para cada x escolhido:

L 8 = 2 + 3 + 3,75 + 4,4 + 5 + 5,4 + 5,75 + 5,9

Fazendo essa soma, obtemos a estimativa inferior:

L 8 = 35,2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma estimativa superior para n = 8 .

Para a gente fazer menos contas, perceba que a soma dos retângulos superiores é igual a L 8 + f 8 - f 0 , ou seja:

R 8 = ∑ i = 0 8   f x i Δ x = Δ x f x 1 + f x 3 + ⋯ + f x 7 + f x 8

R 8 =   L 8 + Δ x f 8 - f 0  

E como no nosso caso Δ x = 1 , teremos portanto que:

R 8 = L 8 + f 8 - f 0

Fuja de contas meu amigos!

Olha só como fica o gráfico:

Então, substituindo os valores, temos:

L 8 + f 8 - f 0 = 35,2 + 6 - 2

E calculando, obtemos a estimativa superior:

L 8 = 39,2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E s t i m a t i v a   i n f e r i o r   L 8 = 35,2   e   s u p e r i o r   R 8 = 39,2

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