Encontre os números críticos da função.

f(x) = x * ln(x)

Passo 1

Faaala aí, vamos que vamos, que a gente tá resolvendo tudo por aqui!

Nessa questão temos a seguinte função:

f x = x ln ⁡ x

E queremos encontrar os números críticos da função.

Vamos começar entendendo o que vem a ser esse tal de “número crítico”.

Um número crítico é nada mais, nada menos que um número c onde sua derivada é igual a zero

f ' c = 0

ou f ' ( c ) não existe

f ' c   ∄

Certinho??

Passo 2

Nossa função é:

f x = x ln ⁡ x

Como aqui temos o produto entre duas funções, vamos usar a regra do produto que diz que:

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Usando a regra do produto, temos

f ' x = 1 ln ⁡ x + x 1 x

f ' x = ln ⁡ x + 1

Essa função existe para qualquer valor de x , afinal a função logarítmica é definida em todo o conjunto dos números reais.

Vamos portanto procurar se há algum ponto onde essa função zere.

Passo 3

Quando f ' x = 0 , temos

0 = ln ⁡ x + 1

ln ⁡ x = - 1

Elevando os dois lados da equação pela exponencial, temos:

e ln ⁡ x = e - 1

E usando a seguinte propriedade:

e ln ⁡ x = x

Temos que:

x = e - 1

Portanto,

x = 1 e

Assim, o único numero critico é x = 1 e .

Entendido??

Resposta

x = 1 / e

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