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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 9

Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse 4 x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Se x ,   y > 0 satisfazem a equação da elipse, então o retângulo terá dimensões 2 x e 2 y , de modo que a área será:

A x , y = 2 x 2 y = 4 x y

Porém, temos:

y 2 = 1 - 4 x 2

y = 1 - 4 x 2

Assim, a área pode ser escrita como uma função somente de x :

A x = 4 x 1 - 4 x 2

A x = 4 x 2 - 4 x 4

Passo 2

Para o ponto de área máxima, vamos buscar o máximo global da função A x , primeiro derivando e igualando a 0 :

A ' x = 4 ∙ 1 2 x 2 - 4 x 4 - 1 2 2 x - 16 x 3

A ' x = 4 1 - 8 x 2 1 - 4 x 2 = 0

1 - 8 x 2 = 0

x = 1 2 2

Passo 3

Voltando à equação da elipse, descobrimos o valor de y para o valor de x obtido:

y = 1 - 4 x 2 = 1 - 4 1 2 2 2

y = 1 2

Então, o retângulo de área máxima vai ter base 2 x = 1 2 e altura 2 y = 2 2 = 2 .

Resposta

Base 1 2 e altura 2

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