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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 3

Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + z^2) sobre a circunferência

r (t) = (a cos t) j + (a sen t) k , 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Notamos que a integral pode ser escrita como

oint f (x , y , z) d s = oint_0^(2 pi) f (r (t)) |r^' (t)| d t

Onde

f (r (t)) = sqrt(0^2 + a^2 sen t) = a |sen t|

E para r^' (t)

r^' (t) = sqrt(a^2 sen^2 t + a^2 cos^2 t) = a

Portanto, a integral da função escalar é

oint f (x , y , z) d s = int_0^(2 pi) a^2 |sen t| d t

Desenvolvendo os termos

oint f (x , y , z) d s = int_0^(pi) a^2 sen t d t + int_(pi)^(2 pi) a^2 (- sen t) d t

Que tem como resultado

oint f (x , y , z) d s = - a^2 [cos t]_0^(pi) + a^2 [cos t]_(pi)^(2 pi) = - a^2 (- 2) + a^2 (2) = 4 a^2

Resposta

oint f (x , y , z) d s = 4 a^2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .
Calcule oint_c f d S 1.df (x , y , z) = e^(sqrt(z)) E C é definida por sigma (t) = (1,2 , t^2) 0 = t = 1
Calcule ∮ c fd S 1.e f x , y , z = y z E C é o segmento de reta de extremidades 0,0 , 0 e 1,3 , 2
4. Calcule int_C F * d vec r Ondee. F (x , y , z) = (x , y , x z - y) e C é de reta de (0,0 , 0) a(1,2 , 4)