Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P(2) = 5 , P'² = 3 e P''(2) = 2 .

Passo 1

Oiiie bora resolver mais uma?

Um polinômio de segundo grau é uma função quadrática da forma P x = a x 2 + b x + c , onde a ,   b ,   e   c são constantes e a ≠ 0 .

A derivada de um polinômio é outra função polinomial, que representa a taxa de variação da função original.

Para um polinômio P x = a x 2 + b x + c , sua primeira derivada P ' ( x ) é dada por P ' x = 2 a x + b

A segunda derivada de uma função é a derivada da sua primeira derivada.

No caso de um polinômio de segundo grau, a segunda derivada é constante e igual a 2 a

Passo 2

Queremos achar um polinômio P ( x ) , tendo apenas os seguintes dados: P ( 2 ) = 5 , P ’ ( 2 ) = 3 e P ” ( 2 ) = 2 .

Seja tal polinômio dado por:

P x =   a x 2   + b x + c (o tal polinômio do 2º grau)

Para acharmos esse polinômio basta descobrirmos os valores de a , b e c que são seus coeficientes.

O primeiro dado pode ser usado. É só substituir x por 2. Assim:

P 2 =   a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c   =   5

Desta forma, temos a primeira equação com três variáveis a , b e c que são os coeficientes (constantes) do polinômio P ( x ) que queremos descobrir.

I   :   4 a + 2 b + c = 5

Antes de usarmos o segundo dado, devemos derivar P ( x ) , assim: P ' x =   2 a x + b e daí temos:

P 2 =   2 a ( 2 ) + b = 3

E assim temos a segunda equação

I I :     4 a + b = 3

Para obtermos a segunda derivada de P ( x ) derivamos a primeira P ' ( x ) :

P ' ' x =   2 a , logo temos que

P " ( 2 ) =   2 a = 2  

a =   2 2

= 1

Passo 3

Sabendo que a = 1 , então, podemos achar b substituindo o valor de a na equação ( I I ) .

Logo, tem-se que:

b = 3 - 4 a     →     b = 3 - 4 ( 1 ) =   - 1

E, daí, pela equação ( I ) tem-se que:

c = 5 - 4 a - 2 b

c = 5 - 4 1 - 2 - 1

c = 5 - 4 + 2 = 3

Portanto, P x = x 2 - x + 3

Resposta

P x = x 2 - x + 3

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