Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 63
Encontre um polinômio de segundo grau tal que , e .
Passo 1
Oiiie bora resolver mais uma?
Um polinômio de segundo grau é uma função quadrática da forma onde são constantes e .
A derivada de um polinômio é outra função polinomial, que representa a taxa de variação da função original.
Para um polinômio , sua primeira derivada é dada por
A segunda derivada de uma função é a derivada da sua primeira derivada.
No caso de um polinômio de segundo grau, a segunda derivada é constante e igual a
Passo 2
Queremos achar um polinômio , tendo apenas os seguintes dados: , e .
Seja tal polinômio dado por:
(o tal polinômio do 2º grau)
Para acharmos esse polinômio basta descobrirmos os valores de , e que são seus coeficientes.
O primeiro dado pode ser usado. É só substituir por 2. Assim:
Desta forma, temos a primeira equação com três variáveis , e que são os coeficientes (constantes) do polinômio que queremos descobrir.
Antes de usarmos o segundo dado, devemos derivar , assim: P e daí temos:
E assim temos a segunda equação
Para obtermos a segunda derivada de derivamos a primeira :
, logo temos que
Passo 3
Sabendo que , então, podemos achar substituindo o valor de na equação .
Logo, tem-se que:
E, daí, pela equação tem-se que:
Portanto,