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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 56

Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a x 2 , a ≠ 0 , intersecta em um ponto que está em uma reta vertical passando pelo ponto médio dos pontos de tangência.

Passo 1

Vishii essa embolou...

Calma lá, a gente tem uma parábola genérica, y = a x 2 . Os pontos de tangência pertencem a essa parábola, então a gente pode dizer que são da forma:

P 1 = x 1 ,   a x 1 2   e   P 2 = x 2 ,   a x 2 2  

Ok, já começamos a caminhar...

Passo 2

Agora pra escrever a reta tangente, a gente precisa da derivada da função da parábola...

y = a x 2

y ' = 2 a x

Ótimo! Agora escrevendo as retas tangentes:

  • A que passa por P 1 :

    • y - a x 1 2 = 2 a x 1 x - x 1  

  • E a que passa por P 2 :

y - a x 2 2 = 2 a x 2 x - x 2

Passo 3

A gente precisa ver agora sobre a interseção dessas duas retas, vamos igualar!

Primeiramente, isolamos o y nas duas:

y = a x 1 2 + 2 a x 1 x - x 1

y = a x 2 2 + 2 a x 2 x - x 2

Igualando agora...

a x 1 2 + 2 a x x 1 - 2 a x 1 2 = a x 2 2 + 2 a x x 2 - 2 a x 2 2

2 a x x 1 - a x 1 2 = 2 a x x 2 - a x 2 2

a 2 x x 1 - x 1 2 = a 2 x x 2 - x 2 2

2 x x 1 - x 1 2 = 2 x x 2 - x 2 2

2 x x 1 - 2 x x 2 = - x 2 2 + x 1 2

2 x x 1 - x 2 = - x 2 2 + x 1 2

Pela regrinha do produto notável agora:

2 x x 1 - x 2 = x 1 - x 2 x 1 + x 2

2 x = x 1 + x 2

x = x 1 + x 2 2

Passo 4

Essa última igualdade nos mostra que a coordenada x da interseção passa pelo ponto médio das coordenadas dos pontos de tangência x 1   e   x 2 .

Ou seja, a interseção das retas de tangência está sobre uma reta vertical entre os pontos P 1   e   P 2 .

E é isso que queríamos mostrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre d 2 y d x 2 . (b) y = 12 x 2 - 2 x + 3
Encontre d 2 y d x 2 .(b) y = 3 x + 2
Encontre d 2 y d x 2 .(c) y = 3 x - 2 5 x
(c) Encontre d 4 [ x - 3 ] d x 4 x = 1 .
Encontre y ' ' ' .(c) y = a x 3 - b x + c ( a , b , c constantes)